Как нарисовать радиус к двум окружностям


1. Геометрические построения

1.1. Сопряжения

В очертаниях технических форм имеют место плавные переходы от одной прямой или кривой линии к другой.


Сопряжение – плавный переход от одной линии к другой.
Элементы сопряжения:

  • радиус дуги сопряжения;
  • центр дуги сопряжения;
  • точки сопряжения (перехода)

Центр дуги сопряжения лежит всегда на расстоянии, равном радиусу сопряжения от сопрягаемых линий, а точка сопряжении – либо на перпендикуляре, проведенном из центра дуги к данной прямой, либо на линии, соединяющей центры сопрягаемых окружностей.

Построение касательной к окружности в заданной точке

Касательная является перпендикуляром, проведенном к радиусу окружности в данной точке К (рис. 1.1, а).

Рис. 1.1. Построение касательных

а – построение прямой, касательной к окружности;

б – внешнее касание окружностей

Внешнее касание окружностей

Точка перехода К лежит на прямой, соединяющей центры окружностей, точки О и О1 (рис. 1.1, б):

ОО1=R+R1
 

В этом случае из центра O данной окружности проводится дуга вспомогательной окружности радиусом R+R1.

Любая точка этой дуги может быть принята за центр искомой окружности радиусом R1.

Если точка касания K задана, то, проведя прямую OK до пересечения с дугой вспомогательной окружности, находят центр искомой окружности O1.

Внутреннее касание окружностей

Точка перехода K лежит на продолжении прямой, соединяющей центры окружностей, точки O и O1 (рис. 1.2): ОО1=R-R1. В этом случае проводится вспомогательная окружность радиусом R-R1.

Рис. 1.2. Внутреннее касание окружностей

Сопряжение прямых линий

Центр дуги сопряжения О определяется как точка пересечения двух прямых, параллельных данным и расположенных от них на расстоянии, равном радиусу сопряжения R. Точки перехода A и B находятся с помощью перпендикуляров, опущенных из центра сопряжения О на данные прямые (рис. 1.3).

Рис. 1.3. Сопряжение пересекающихся прямых линий

Сопряжение прямых, составляющих прямой угол, можно построить, используя только циркуль (рис. 1.4, а).

Рис. 1.4. Сопряжение прямых линий:

а – перпендикулярных;

б – параллельных

Сопряжение двух параллельных прямых дугой, проходящей через точку К на одной из них

Центр дуги сопряжения O находится в середине перпендикуляра, восстановленного из точки К (рис. 1.4, б).

Сопряжение сторон угла дугой, проходящей через точку К на одной из них

Центр дуги сопряжения – точка пересечения перпендикуляра, проведенного в точке К к стороне угла, и биссектрисы угла (рис. 1.5).

Рис. 1.5. Сопряжение сторон угла

Внешнее сопряжение окружности и прямой

Из центра O данной окружности радиусом R проводится дуга вспомогательной окружности радиусом R+R1, а на расстоянии R1 – прямая, параллельная данной (рис. 1.6,.а).

Рис. 1.6. Сопряжение окружности и прямой:

а – внешнее;

б – внутреннее

Полученная точка пересечения проведенной прямой и дуги вспомогательной окружности определяет положение центра дуги сопряжения О1. Соединяя найденный центр О1 с центром О данной окружности и опуская перпендикуляр на прямую, находят точки касания A и B, между которыми проводят дугу сопряжения.

Внутреннее сопряжение окружности и прямой

Построение внутреннего сопряжения такое же, как и в случае внешнего сопряжения, только дугу вспомогательной окружности проводят радиусом R – R1 (рис. 1.6, б).

Построение сопряжения окружности и прямой при заданной точке сопряжения на окружности

Через точку К на окружности проводят касательную и делят угол, образованный ею и заданной прямой, пополам (рис. 1.7). Центр сопряжения определяется пересечением биссектрисы угла с продолжением радиуса ОК: R1 = О1К.

Рис. 1.7. Сопряжение окружности и прямой

Внешнее сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса

Центр дуги сопряжения О определяется пересечением двух вспомогательных дуг окружностей радиусом R1+R с центром О1 и радиусом R2+R с центром О2 (рис. 1.8, a). Точки сопряжения A и B находятся на линии центров ОО1 и ОО2.

Рис. 1.8. Сопряжение окружностей:

а – внешнее;

б – внутреннее

Внутреннее сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса R

Построение внутреннего сопряжения такое же, как и в случае внешнего сопряжения, только дуги вспомогательных окружностей имеют радиусы R – R1 и R – R2 (рис. 1.8, б).

Смешанное сопряжение двух окружностей дугой заданного радиуса R

Центр дуги сопряжения О определяется пересечением двух вспомогательных дуг окружностей радиусом R – R1 с центром О1 и радиусом R2 + R с центром О2 (рис. 1.9). Точки сопряжения A и B находятся на линии центров ОО1 и ОО2.

Рис. 1.9. Смешанное сопряжение окружностей

Проведение касательной к окружности через заданную точку, лежащую вне окружности

Отрезок, соединяющий центр окружности О с заданной точкой А, делят пополам и получают точку О1. Строят вспомогательную окружность радиусом ОО1 с центром О1 (рис. 1.10). В точках пересечения вспомогательной и данной окружностей получают точки касания K и K'.

Рис. 1.10. Построение касательных к окружности

Проведение общей касательной к двум данным окружностям

Из середины отрезка О1О2, соединяющего центры данных окружностей, точки О строят вспомогательную окружность радиусом ОО1 с центром О (рис. 1.11). Из центра большой окружности радиусом R1 проводится вторая вспомогательная окружность радиусом R1 – R2. Точки пересечения двух вспомогательных окружностей A и B определяют направление радиусов О1K и О1K', проходящих через точки касания K и K'. Для получения точек касания K1 и K'1 на второй окружности достаточно провести из центра радиусы О2K1 и О2K'1, параллельно радиусам О1K и О1K'.

Рис. 1.11. Построение касательных к двум окружностям

1.2. Деление окружности на равные части

Деление окружности на равные части и построение правильных многоугольников можно выполнить различными способами. Наиболее распространенным и наиболее удобным является деление окружности на равные части с помощью циркуля.

Деление окружности на три, шесть и двенадцать равных частей

Для построения точек, делящих окружность радиусом R на три (рис. 1.12, а), шесть (рис. 1.12, б) или двенадцать (рис. 1.12, в) равных частей, достаточно из конца какого-либо диаметра провести как из центра соответственно одну, две или четыре дуги радиусом R.

Рис. 1.12. Деление окружности: а – на три части; б – шесть частей; в – двенадцать частей

Деление окружности на пять и десять равных частей

Способ 1. Для построения точек, делящих окружность радиусом R на пять равных частей, радиус OD делят пополам в точке E. Из точки E как из центра проводят дугу радиусом EA до пересечения ее с диаметром CD в точке F (рис. 1.13, а). Отрезок AF равен стороне вписанного пятиугольника и делит окружность на пять равных частей. Отрезок ОF равен стороне десятиугольника и делит окружность на десять равных частей.

Способ 2. Радиус OD делят пополам в точке F и проводят отрезок FB. На нем от точки F откладывают отрезок FE=FO (рис. 1.13, б). Тогда отрезок BE равняется стороне десятиугольника, а хорда KL – стороне пятиугольника.

Рис. 1.13. Деление окружности на пять и десять частей:

а – способ 1; б – способ 2

Деление окружности на семь равных частей

Для построения точек, делящих окружность радиусом R на семь равных частей (рис. 1.14, a), проводят хорду MN , равную стороне вписанного правильного треугольника. Половина хорды, отрезок KM, с достаточным приближением равняется стороне вписанного семиугольника и делит окружность на семь равных частей.

Рис. 1.14. Деление окружности:

а – на семь частей; б – на восемь частей

Деление окружности на восемь равных частей

Для построения точек, делящих окружность радиусом R на восемь равных частей (рис. 1.14, б), достаточно из концов обоих диаметров провести как из центра четыре дуги радиусом R.

1.3. Лекальные кривые

Для построения лекальных кривых определяют ряд точек, которые рекомендуется сначала соединить тонкой линией от руки, стараясь при этом придать кривой линии возможно более плавные очертания, а затем обвести эту кривую основной сплошной линией при помощи лекала. Особое внимание обращается на правильный подбор лекал для обводки. Кромка лекала должна проходить через возможно большее число точек (не менее трех) намеченной кривой. При обводке каждого нового участка кривой линии профиль лекала должен на некоторую величину перекрывать ее соседние участки.

Построение эллипса по двум его осям

Эллипс – замкнутая кривая, для которой сумма расстояний от любой ее точки до двух точек – фокусов – есть величина постоянная.
   На данных осях эллипса строят как на диаметрах две концентрические окружности (рис. 1.15). Одну из них делят на несколько равных частей, например, на двенадцать. Через точки деления и центр эллипса проводят радиусы, которые делят также вторую окружность. Затем через точки деления на большой окружности проводят вертикальные линии, а на малой окружности – горизонтальные. Точки пересечения соответствующих линий и будут точками, принадлежащими эллипсу.

Рис. 1.15. Построение эллипса по двум осям:

AB – большая ось эллипса;

CD – малая ось эллипса

Для получения очертания эллипса все найденные точки и концы осей соединяют от руки плавной кривой, которая обводится потом по лекалу. Для обводки эллипса следует подобрать такое лекало, которое охватывало бы 1/4 его часть. Рекомендуется при обводке эллипса и других симметричных кривых делать на лекале засечки карандашом и прикладывать этот участок лекала к симметричной части кривой. Точки F1 и F22 – фокусы эллипса. Они получаются при пересечении большой оси эллипса, т.е. отрезка AB, с дугой радиусом R = AB/2 = OA, проведенной из точки C или D. Для построения касательной в точке K, лежащей на эллипсе, соединяют точку K с фокусами F1 и F22, проводят биссектрису этого угла и строят перпендикуляр к ней, проходящий через точку K.

Построение параболы по вершине, оси и одной из точек параболы

Парабола – кривая, каждая точка которой расположена на одинаковом расстоянии от заданной прямой, называемой директрисой, и точки, называемой фокусом параболы. Для построения параболы по трем точкам: О – вершина, A – произвольная точка, OM – направление оси, необходимо построить прямоугольник со сторонами AM и OM (рис. 1.16). Стороны OB и AB делят на произвольное одинаковое число равных частей и нумеруют точки деления. Вершину O соединяют с точками деления стороны AB, а из точек деления отрезка OB проводят прямые, параллельные оси. Пересечением прямых, проходящих через точки с одинаковыми номерами, определяют ряд точек параболы. Полученные точки соединяют плавной лекальной кривой. Для построения касательной к параболе в данной точке A, опускают из нее перпендикуляр на ось и откладывают от вершины отрезок ON=OM. Касательная проходит через точки N и A. Аналогично построена касательная к параболе в произвольной точке D.

Рис. 1.16. Построение параболы

Построение эвольвенты (развертки окружности)

Эвольвента – кривая, которую описывает точка прямой линии, катящейся без скольжения по неподвижной окружности. Окружность делят на произвольное число равных частей, например, на двенадцать (рис. 1.17). В точках деления проводят касательные к окружности, направленные в одну сторону. На касательной, проведенной через последнюю точку деления, откладывают отрезок, равный длине окружности (2ПR6R), и делят его на то же число равных частей (если деление производим на 12 равных частей, то одно деление будет приблизительно равно R/2). Откладывая на первой касательной одно деление, на второй – два, на третьей – три и т.д., получают ряд точек I, II, III, IV и т. д., которые соединяют по лекалу. Касательная к эвольвенте, например в точке VII, перпендикулярна к касательной 7-VII окружности.

Рис. 1.17. Построение эвольвенты

Построение синусоиды

Синусоида – плоская кривая, графически изображающая изменение синуса в зависимости от изменения его аргумента (угла). Для построения синусоиды (рис. 1.18, а) данную окружность делят на произвольное число равных частей, например, на двенадцать и отмечают точки 1, 2, 3, … , 12. На такое же число равных частей делят отрезок прямой OM, равный длине данной окружности (OM = 2ПR6R) и получают точки 1', 2', 3', ... , 12'. В этом случае одно деление будет приблизительно равно R/2. Проведя через точки деления на окружности вертикальные прямые, а через точки деления на отрезке OM горизонтальные прямые, на их пересечении находят точки синусоиды. Полученные точки соединяют плавной лекальной кривой.

Рис. 1.18. Построение лекальных кривых:

а – циклоиды; б – синусоиды

Построение циклоиды

Циклоида – плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой. Для построения циклоиды (рис. 1.18, б) данную окружность делят на произвольное число равных частей и отмечают точки 0, 1, 2, 3 и т. д. Проведя через точки деления на окружности вертикальные прямые и откладывая на них соответствующее число делений, находят точки циклоиды. Полученные точки соединяют плавной лекальной кривой. Так как окружность делят на 12 равных частей, то в этом случае одно деление будет приблизительно равно R/2.

[ к началу страницы ]


Источник: http://cdot-nntu.ru/basebook/ng2/system/theory/geom_postr_iframe.HTM


Поделись с друзьями



Рекомендуем посмотреть ещё:


Закрыть ... [X]

Как рассчитать радиус и нарисовать окружность без циркуля Сумочка вязанная к телефону

Как нарисовать радиус к двум окружностям Как нарисовать радиус к двум окружностям Как нарисовать радиус к двум окружностям Как нарисовать радиус к двум окружностям Как нарисовать радиус к двум окружностям Как нарисовать радиус к двум окружностям Как нарисовать радиус к двум окружностям Как нарисовать радиус к двум окружностям Как нарисовать радиус к двум окружностям

ШОКИРУЮЩИЕ НОВОСТИ